Image d'un nain joyeux et décalé poussant une brouette pleine d'or

Gestion du risque : calculer la variance d'un portefeuille

Variance d'un portefeuille

Variance passée

La variance passée d'un portefeuille peut se calculer aisément. Il suffit pour ce faire de calculer un historique des valeurs liquidatives du portefeuille, puis de calculer la variance de ses variations, comme si il s'agissait du cours d'une action. Vous pouvez pour ce faire vous référer au calcul de la variance.

Variance future

Si nous pouvions calculer avec certitude la variance future d'un portefeuille, nous serions riches. Toutefois, si cet objectif reste inaccessible, on peut par contre calculer la variance d'un portefeuille à partir de la proportion et de la variance attendue de chaque titre qui le compose.
La variance d'un portefeuille est alors donnée par la formule suivante, plus imposante que complexe, rassurez-vous :

Formule de calcul de la variance d'un portefeuille

où :
Xi est la quantité de l'avoir i.
σi2 est l'écart-type des variations de l'avoir i.
Yj est la quantité de l'avoir j.
Ci,j est la covariance entre variations des avoir i et j.

On démontre que la variance d'un portefeuille est tout simplement la somme des covariances de tous les avoirs qui le composent, pris deux à deux et pondérées par la proportion de chaque avoir dans le portefeuille.

Pour la calculer, il suffit donc de prendre tous les avoirs du portefeuille deux à deux, de calculer leur covariance, de la multiplier par la proportion dans le portefeuille des deux avoirs et d'ajouter tous les résultats entre eux. Pour ce faire, on s'appuie en général sur une matrice de variances-covariances. La suite de cette page va vous montrer comment la construire et l'utiliser.

Matrice de variances-covariances

Le tableau ci-dessous représente une matrice de variances-covariances pour un portefeuille de n titres.

Titre 1 Titre 2 Titre 3    ...    Titre n
Titre 1 X12 σ12 X1Y2C1,2 X1Y3C1,3 ... X1YnC1,n
Titre 2 X2Y1C2,1 X22 σ22 X2Y3C3,3 ... X2YnC2,n
Titre 3 X3Y1C3,1 X3Y2C3,2 X32 σ32 ... X3YnC3,n
... ... ... ... ... ...
Titre n XnY1Cn,1 X5Y2C5,2 X5Y3C5,3 ... Xn2 σn2

Exemple d'application

En imaginant que le portefeuille soit le suivant :

Portefeuille
Titre Proportion
Crédit Lyonnais10%
France Télécom20%
Lafarge30%
Saint-Gobain15%
Total Fina Elf25%

En remplaçant les proportions Xi et Yj par leurs valeurs numériques, la matrice devient :

Titre 1
10%
Titre 2
20%
Titre 3
30%
Titre 4
15%
Titre 5
25%
Titre 1
10%
0,1 * 0,1 σ12 0,1 * 0,2 * C1,2 0,1 * 0,3 * C1,3 0,1 * 0,15 * C1,4 0,1 * 0,25 * C1,5
Titre 2
20%
0,2 * 0,1 * C2,1 0,2 * 0,2 * σ22 0,2 * 0,3 * C3,3 0,2 * 0,15 * C2,4 0,2 * 0,25 * C2,5
Titre 3
30%
0,3 * 0,1 * C3,1 0,3 * 0,2 * C3,2 0,3 * 0,3 * σ32 0,3 * 0,15 * C3,4 0,3 * 0,25 * C3,5
Titre 4
15%
0,15 * 0,1 * C4,1 0,15 * 0,2 * C4,2 0,15 * 0,3 * C2,3 0,15 * 0,15 * σ42 0,15 * 0,25 * C4,5
Titre 5
25%
0,25 * 0,1 * C5,1 0,25 * 0,2 * C5,2 0,25 * 0,3 * C5,3 0,25 * 0,15 * C5,4 0,25 * 0,25 * σ52

En prenant les variations des douze derniers mois pour base de calcul des variances-covariances :

Variations mensuelles des valeurs du portefeuille
Titre Crédit
Lyonnais
France
Télécom
Lafarge Saint-Gobain Total Fina Elf
Août 2001 -1,75% -32,88% 2,31% 0,31% 0,06%
Septembre 2001 -19,84% -2,04% -10,42% -10,65% -9,34%
Octobre 2001 12,28% 19,79% 10,34% 2,30% 5,76%
Novembre 2001 -3,50% 6,34% 3,85% 5,44% -8,65%
Décembre 2001 -0,03% 1,81% 2,34% 4,05% 12,56%
Janvier 2002 -0,27% -17,22% -6,01% -2,36% 1,56%
Février 2002 2,14% -18,08% 0,91% 8,46% 4,30%
Mars 2002 14,29% 15,34% 3,02% 4,23% 4,18%
Avril 2002 7,21% -23,23% 2,73% 1,56% -4,97%
Mai 2002 -3,48% -22,96% 3,70% 0,00% -0,77%
Juin 2002 -3,94% -54,60% -7,51% -4,32% -1,50%
Juillet 2002 -8,27% 55,89% -11,09% -32,94% -10,28%

Cela nous donne, une fois les variances et covariances calculées :

Crédit Lyonnais
10%
France Télécom
20%
Lafarge
30%
Saint-Gobain
15%
Total Fina Elf
25%
Crédit Lyonnais
10%
0,1 * 0,1 * 0,0076216 0,1 * 0,2 * 0,0011506 0,1 * 0,3 * 0,0040693 0,1 * 0,15 * 0,0049138 0,1 * 0,25 * 0,0034097
France Télécom
20%
0,2 * 0,1 * 0,0011506 0,2 * 0,2 * 0,0759968 0,2 * 0,3 * -0,0006770 0,2 * 0,15 * -0,0144404 0,2 * 0,25 * -0,0028619
Lafarge
30%
0,3 * 0,1 * 0,0040693 0,3 * 0,2 * -0,0006770 0,3 * 0,3 * 0,0040396 0,3 * 0,15 * 0,0049241 0,3 * 0,25 * 0,0022138
Saint-Gobain
15%
0,15 * 0,1 * 0,0049138 0,15 * 0,2 * -0,0144404 0,15 * 0,3 * 0,0049241 0,15 * 0,15 * 0,0109851 0,15 * 0,25 * 0,0040848
Total Fina Elf
25%
0,25 * 0,1 * 0,0034097 0,25 * 0,2 * -0,0028619 0,25 * 0,3 * 0,0022138 0,25 * 0,15 * 0,0040848 0,25 * 0,25 * 0,0043380

Il nous reste alors à effectuer les calculs, puis à faire la somme des variances-covariances :

Crédit Lyonnais
10%
France Télécom
20%
Lafarge
30%
Saint-Gobain
15%
Total Fina Elf
25%
Sous-Totaux
Crédit Lyonnais
10%
0,0000762 0,0000230 0,0001221 0,0000737 0,0000852 0,0003803
France Télécom
20%
0,0000230 0,0030399 -0,0000406 -0,0004332 -0,0001431 0,0024460
Lafarge
30%
0,0001221 -0,0000406 0,0003636 0,0002216 0,0001660 0,0008326
Saint-Gobain
15%
0,0000737 -0,0004332 0,0002216 0,0002472 0,0001532 0,0002624
Total Fina Elf
25%
0,0000852 -0,0001431 0,0001660 0,0001532 0,0002711 0,0005325
Total des variances-covariances, soit variance du portefeuille0,0044538
Ecart-type mensuel du portefeuille = racine carrée ( variance )0,0667365
Ecart-type annuel du portefeuille = ecart-type PF * racine carrée ( 12 )0,2311819

La somme des variances-covariances de chaque ligne donne la variance mensuelle du portefeuille : ici 0,0044538.
La racine carrée de cette variance est l'écart-type des variations mensuelles attendues du portefeuille, soit 0,0667365.
Si l'on souhaite obtenir l'écart-type annuel attendu des variations du portefeuille, il suffit de multiplier ce résultat par la racine carrée de 12, ce qui nous donne 0,2311819, soit 23,11% ce qui est pratiquement identique à celui du CAC40.

Vous savez maintenant calculer le risque attendu d'un portefeuille. Vous pourrez ainsi constater qu'en modifiant les proportions des différentes valeurs dans le portefeuille, on peut modifier le risque attendu du portefeuille.
Ainsi, par exemple, avec des proportions de 10%, 10%, 40%, 10% et 30% au lieu des 10%, 20%, 30%, 15% et 25% de l'exemple précédent, on obtient un portefeuille présentant un risque de 19,86% au lieu de 23,11%.

On va ainsi pouvoir jouer sur les proportions des valeurs dans le portefeuille pour essayer de baisser au maximum son risque, mais tous ces calculs sont un peu rébarbatifs. L'idéal est donc de s'en décharger sur une feuille de calcul.

Feuille de calcul de la variance future estimée d'un portefeuille

Vous pouvez télécharger le fichier excel variance_portefeuille_1.xls qui vous permettra de calculer la variance attendue d'un portefeuille de cinq titres et que vous pourrez aisément modifier pour lui faire gérer davantage de valeurs.
Cette feuille n'appelle pas de commentaires particuliers. Elle reprend les calculs réalisés dans cette page.
Les valeurs sur fond jaune clair (cours de fin de mois et proportions des valeurs dans le portefeuille) constituent les valeurs d'entrées.
Les valeurs sur fond jaune vif sont les valeurs de sortie.
La feuille Excel variance_portefeuille_2.xls est quant à elle identique à la première, mis à part le fait qu'elle comporte un historique plus important et conforme à l'échantillon minimum.

Attention !

La boule de cristal est d'une manipulation délicate

Attention, les données obtenues en sortie dépendent de celles fournies en entrée. La variance calculée sera celle du portefeuille à condition que ses composantes aient effectivement des variances telles que celles fournies en entrée, ce qui ne sera bien évidemment pas le cas. Par contre les covariances de chaque couple de valeurs ont de meilleures chances de rester stables.
Nous avons choisi ici, pour des raisons de simplicité, d'utiliser les variances passées de chaque titre en faisant comme si celles-ci ne changeaient pas dans le temps. Or, de nombreuses études ont montré que la variance (ainsi que le bêta que nous verrons plus tard peut-être) d'un titre n'est pas constante dans le temps. La variance réelle du portefeuille sera donc différente de celle calculée.

Echantillon minimum... et maximum

Tous ces calculs relèvent de la statistique, il est donc indispensable de s'appuyer sur un nombre suffisant d'observations. Ce nombre doit être au minimum d'une trentaine. Dans notre exemple nous en avons pris une douzaine pour ne pas obtenir de tableaux trop importants, il faut donc en prendre davantage.

Par ailleurs, une série de cours reflétant, au moins sur le long terme et au moins partiellement, la vie d'une entreprise, il est délicat de prendre un historique trop long car les entreprises changent avec le temps. Leur nature se modifie au fil des changements de stratégies, des fusions/acquisitions et autres événements. S'appuyer sur une durée trop longue conduirait fatalement à calculer des covariances ayant une moindre valeur prédictive.

Pour respecter ces deux contraintes, la littérature s'accorde sur le fait qu'un échantillon d'une trentaine de valeurs est suffisant, ce qui correspond pour des données mensuelles à un historique d'environ trois ans.

Un troupeau ne regroupe pas des souris et des éléphants

Les exemples utilisés dans cette page et les deux feuilles Excel téléchargeables utilisent un portefeuille de cinq titres, qui bien que relativement diversifié ne l'est pas assez. Le sujet invite à jouer sur les proportions des différentes valeurs pour voir l'impact obtenu sur le risque du troupeau, ce qui conduit souvent à affecter des proportions trop importantes à certaines valeurs, 'pour voir', et c'est légitime. Toutefois, dans la vraie vie, et au sein d'un portefeuille diversifié, la taille idéale d'une ligne est comprise entre 2 et 5% de celle du portefeuille.
Attention donc, car d'autres considérations que la volonté de réduire le risque présumé doivent être prises en compte lors de la constitution d'un portefeuille.
L'important ici est de comprendre et toucher du doigt l'importance de la covariance.

Vite, la suite...

Avec les éléments de ces quatres premières pages nous disposons de pratiquement tous les outils nécessaires à l'optimisation d'un portefeuille. On sait désormais calculer le risque attendu d'un portefeuille à partir d'une évaluation des variances futures des titres qui le composent, ainsi que son rendement à partir d'une estimation des rendements futurs des titres.
Il nous est donc maintenant possible de calculer automatiquement sa composition à partir du risque maximum acceptable tout en obtenant le rendement maximum, ou inversement à calculer automatiquement sa composition à partir du rendement souhaité et avec un risque minimum.

Je vous invite donc à poursuivre l'aventure dans une nouvelle série de pages : l'optimisation de portefeuille.

Vous avez des questions ? Des remarques ? Des félicitations ou des reproches ? Laissez un message dans un des forums mis à votre disposition. Tout le monde pourra ainsi en profiter.


FAQ

Quelle fréquence doit-on choisir comme échantillon pour calculer la volatilité ?
Il n'y a malheureusement pas de réponse à cette question. Les valeurs les plus courantes sont une fréquence hebdomadaire sur la base des 52 dernières semaines ou bien une fréquence mensuelle sur la base des 30 derniers mois.


Et pour aller plus loin : quelques bouquins

Bouquins

Puce rouge Exercices de théorie financière et de gestion de portefeuille
Puce rouge Gestion de portefeuille
Puce rouge La théorie moderne du portefeuille
Puce rouge Marchés Financiers - Gestion de portefeuille et des risques
Puce rouge Principes de Finance Moderne


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